슈텔로 경제 모델

슈텔로 경제 모델 또는 경제 개발 5개기 계획이란 슈텔로에서 활동하는 봇들이 따를 수 있는 경제 시스템에 대한 표준이다. 미닉과 켄켄이 운영하는 서로 다른 경제 관련 콘텐츠에서 각각이 상호 유통 가능하도록 제안되었다.

이 모델을 사용한 프로그램 개발을 쉽게 하기 위해서 파이썬 라이브러리도 제작되고 있다.

역사

2018년 10월 슈텔로인 사태에 이어 2019년 7월 18일에 처음으로 거론되었고, 2022년 4월 1일 슈텔로가 폐쇄된 이후에 사트에서 사트 2기 시작과 함께 그 궤를 공유하려고 했으나^[1], 정비하는 데에 시간이 오래 걸리는 탓에 경제 기능이 구현되지 않은 채로 사트 2기가 시작되었다.

하지만 2022년 9월 1일 이 문서의 제작과 함께 슈텔로 경제 모델에 대한 연구가 다시금 시작되었으며, 2022년 10월 5일부터는 파이썬을 이용한 디스코드 봇을 제작할 때에 사용할 수 있는 파이썬 전용 경제 모델 라이브러리가 개발되는 등, 다시금 경제 모델의 활용이 떠오르고 있다.

설명

경제 수치들 간의 관계는 다음과 같이 주어진다.

화폐총가치 [e]
화폐총량 [W] = T
비회전금 [W] = t

단위가치 [e/W] = (화폐총가치) ÷ T
회전금 [W] = T - t
비회전율 = t ÷ T
회전율 = (회전금) ÷ T
회폐기대치 [e/W] = (화폐총가치) ÷ t

법인

슈텔로 경제 모델에서는 크게 제공 법인과 일반 법인의 두 가지 경제 주체를 상정한다. 서비스 제공 법인은 단 하나만 존재할 수 있으며, 일반 법인은 이론상 무한정 많이 존재할 수 있다.

제공 법인은 도박 게임이나 거래 중개 등, 경제 주체들에게 서비스를 제공하면서 그에 대응하는 수수료를 가져간다. 그리고 일반 법인은 제공 법인이 제공하는 게임이나 콘텐츠 등의 서비스를 누리면서 슈텔로 경제 모델을 이끌어 간다.

화폐와 가치

각각 제공 법인은 그에 대응하는 화폐를 가진다. 즉, 특정한 제공 법인에서만 사용할 수 있는 화폐가 정해져있다. 슈텔로 경제 모델은 슈텔로에서 각각의 봇들이 제공하는 경제 콘텐츠들 사이에서 가치가 상호호환 가능하도록 제시되었다. 따라서 미닉 봇에서 사용할 수 있는 화폐 테로, 켄켄 봇에서 사용할 수 있는 화폐 케논 등이 이미 제시된 화폐들이고, 어떤 회원이 테로를 가지고 있다면 그것으로는 미닉봇의 콘텐츠에서만 사용할 수 있고, 마찬가치로 케논을 가지고 있다면 켄켄 봇이 제공하는 서비스에서만 그 화폐를 사용할 수 있다.^[2]

제공 법인은 최초에 그 제공 법인이 다룰 수 있는 가치의 총량을 배정받는다. 보통 메타경제적으로 제공 법인의 신뢰도가 높다고 평가되는 봇이 높은 가치를 배정받는다. 예를 들어 미닉 봇의 관리가 상당히 불안정하고 자주 꺼지는 등, 미닉 봇의 관리 주체가 신뢰도가 낮은 서비스를 제공한다면 상대적으로 낮은 가치를 배정받게 되고, 켄켄 봇의 안정도가 더 높다면 켄켄 봇은 상대적으로 많은 가치를 배정받게 되는 식이다. 이때 배정받는 가치의 양을 화폐총가치(currency total absolute value)라고 한다. 화폐총가치의 단위로는 엘리트를 사용하고, 이 단위를 절대단위(absolute unit)이라고도 부른다.

어떤 제공 법인은 화폐 총가치를 일정한 수로 등분하여 각각의 가치 조각에 화폐 총가치를 균등하게 부여하는데, 이것을 화폐(currency)라고 하며, 화폐 하나의 가치를 단위가치(unit value, $u$ )라고 한다. 이때, 등분한 일정한 수를 화폐총량(total currency, $T$ )이라고 한다. 즉, ${\text{(화폐총가치)}}=Tu$ 가 성립한다.

가치란 어떤 재화나 서비스를 특정한 화폐로 환산한 것을 말한다. 예를 들어, 금괴 1키로가 2,000 테로로 환산된다면 해당 금괴의 가치는 2,000 테로인 것이다. 이때 테로화의 단위가치를 고려하여 해당 금괴의 엘리트 환산 가치를 얻어낼 수 있는데, 이것을 절대가치(absolute value, $g$ )라고 한다.

회전

일반 법인이 제공 법인과 상호작용을 시작하게 되면 어떤 방법으로든 제공 법인은 일반 법인에게 초기 자본을 제공해준다.^[3] 그러면 일반 법인은 가치고 있는 자본을 통해 제공 법인이 제공하는 서비스를 누리며 돈을 불리거나 사용하게 된다. 이때 제공 법인은 제공 법인이 정한 화폐를 통해 일반 법인과 거래하게 되는데, 이때 그 화폐의 화폐총량의 일부를 일반 법인에게 떼어주는 방식으로 거래가 진행된다.

일례로, 제공법인 켄켄의 화폐 케논화의 화폐총량이 100이라고 가정하고, 일반 법인 A가 한 일정한 행동을 통해 켄켄이 A에게 60 케논에 해당하는 화폐를 제공해야 한다고 했을 때, 켄켄이 가지고 있는 화폐의 양인 100에서 60만큼을 떼어 A에게 제공해야 한다는 것이다. 이렇게 되면 켄켄이 가지고 있는 케논화의 양이 100에서 40으로 줄어들고, A가 가지고 있는 케논화의 양이 0에서 60으로 늘어나게 된다.

이때 처음으로 가입한 일반법인 B가 한 어떤 행동을 통해 60 케논만큼의 화폐를 켄켄이 제공해야 한다고 하자. 이때 켄켄은 60케논에 해당하는 화폐를 가지고 있지 않기 때문에 화폐를 지불할 수 없다. 법인이 가질 수 있는 화폐의 양은 음수가 될 수 없기 때문이다.

이 예시에서의 켄켄과 같이 제공 법인이 가지는 화폐의 양을 비회전금(frozen, $t$ )이라고 하고, A, B와 같은 일반 법인이 가지고 있는 화폐의 총량을 회전금(rotating)이라고 한다. 비회전금과 회전금을 합하면 화폐총량이 주어진다. 참고로, 비회전금이 저장되는 공간을 금고(safe)라고도 하고, 비회전금이 화폐총량에서 차지하는 비율을 비회전율(non-turnover), 마찬가치로 회전금이 차지하는 비율을 회전율(turnover)이라고 한다. 비회전율과 회전율을 합하면 1이 된다.

비회전금을 회전금으로 바꾸는 행위를 회전(rotate), 회전금을 비회전금으로 바꾸는 행위를 동결(freeze)이라고 한다.

다시 상황으로 넘어가서, B와 A의 경우를 살펴보자. 만약 A와 B가 같은 행동을 했고, 그렇기 때문에 똑같이 60테로의 화폐를 제공받아야 했다고 하자. 하지만 켄켄이 가지고 있는 화폐의 양은 줄어들었기 때문에 A에게 준 것과 같이 B에게는 60테로를 줄 수 없었다. 이러한 상황을 철저히 방지하기 위해서, 어떤 행동에 대한 가치는 언제나 절대단위로 계산되고, 제공 법인이 할당받은 가치에서 해당 행동에 대한 가치가 차지하는 비율을 계산하여, 해당 제공 법인이 가진 비회전금에서 해당 비율에 대응하는 만큼의 화폐를 제공한다.

다시 새로운 상황으로 돌아와서, 제공 법인 미닉의 화폐 테로화의 화폐총량이 100 테로이고 미닉에 대응된 절대가치가 1,000 엘리트라고 하자. 이때 일반법인 A가 600 엘리트에 해당하는 행동을 함으로서 A가 미닉에게 보상을 요구하면, 미닉은 60 테로를 A에게 지불해야 한다. A가 한 행동이 절대가치에서 차지하는 비율이 60%이기 때문에, 미닉이 가치고 있는 비회전금인 100 테로에서 60%에 해당하는 화폐를 A에게 지불해야 하기 때문이다. 이로써 미닉은 40 테로, A는 60 테로의 테로화를 가지게 된다.

이 상황에서 똑같이 600 엘리트에 해당하는 행동을 새로운 일반법인 B가 했다고 했을 때에, 미닉에 대응된 절대가치는 1,000으로 변하지 않고, 미닉이 가지고 있는 비회전금은 400 테로로 줄어들었기 때문에 같은 행동을 했다고 해도 B는 400테로의 60%에 해당하는 240테로밖에 가져가지 못한다. 이를 통해서 B는 240테로를 벌게 되고 미닉은 160테로의 비회전금을 가지게 된다.

여기서 B는 600 엘리트에 해당하는 화폐를 가져간 것이기 때문에, 테로의 양이 줄어들었다고 손해를 본 것이 아니다. 여기서는 A가 상당한 이득을 보게 되는데, 이미 600 테로에 해당하는 돈을 가져간 상태로 테로의 기대 가치가 약 600/240, 즉 2.5배 상승했으므로 A가 가지는 가치가 600 엘리트에서 1,500 엘리트로 상승, 즉 불로소득을 얻은 것이 된다.^[4]

이때, 이렇게 거래에 따라 변화하는 화폐의 사회적 기대 가치를 화폐기대치(currency expectation, $a$ )라고 하고, 이는 화폐총가치를 비회전금으로 나누어 얻어진다. 이때 화폐기대치의 단위는 [엘리트/화폐]가 된다.

거래 적용의 수학적 방법

회전

회전하는 경우를 상정하자. 어떤 화폐의 비회전금의 양이 $t$ , 화폐의 총가치가 $g$ , 제공해야 하는 재화 및 서비스의 절대가치가 $E$ 일 때, 일반 법인에게 제공받은 재화 및 서비스 $E$ 에 대한 화폐 회전금의 변화량 $\Delta r=-\Delta t$ 는 다음과 같이 주어진다.

\Delta r=t(1-\exp {\frac {E}{g}}),\ E<g\ln 2

이 계산을 통해 위의 상황을 계산하면 A는 약 82.211880 테로, B는 약 14.623948 테로를 얻게 되어, 미닉은 3.164172 테로만을 가지고 있게 되고, 처음에 10 엘리트/테로였던 이 화폐의 기대가치는 A와 B의 거래 이후 316.038434 엘리트/테로까지 상승한다.

단, 회전하려는 가치의 양이 화폐 총가치 $g$ 의 $\ln 2$ 보다 작은, 즉 $E<g\ln 2$ 인 경우에만 이 모델을 사용할 수 있다. 이는 비단 이 방식을 사용한 계산만의 문제는 아니고 슈텔로 경제 모델 자체의 한계이다. 위 $\Delta r$ 에 대한 공식에 의하면 $E=g\ln 2$ 일 때 $\Delta r=-t$ , 즉 $\Delta t=t$ 가 된다. $E$ 에 해당하는 가치를 전환한 후에 비회전금이 존재하지 않으므로 더 이상 거래를 진행할 수 없게 된다. 비회전금이 없다면 화폐의 사회가치를 책정할 수 없기 때문에 역연산도 정의되지 않는다. 즉, $E<g\ln 2$ 인 경우에만 이 연산을 적용할 수 있다.

동결

동결하는 경우^[5]를 상정하자. 변수에 대한 상정은 위와 같다. 이때 동결하는 금액 $\Delta t$ 에 대한 절대가치 $E$ 는 다음과 같이 주어진다.

E=g\ln \left({\frac {\Delta t}{t}}+1\right)

화폐기대치가 너무 급격하게 변화하면 일정한 행동을 해도 그 대가가 너무 차이나는 현상이 발생하게 되고, 시세 차익에 의한 이익이 크게 발생하기 때문에 양극화 현상이 쉽게 발생하게 된다. 이것을 방지하기 위해서는 화폐총가치가 커야 한다.

증명

회전: 정적분을 이용한 증명

화폐의 비회전금의 양이 $t$ , 화폐의 총가치가 $g$ , 제공해야 하는 재화 및 서비스의 절대가치가 $E$ 이다. 이때, 구해야 하는 값은 $E$ 만큼의 가치에 해당하는 회전금 변화량 $\Delta r=-\Delta t$ 이다.

거래를 1회로 나누어서 한다면 $E=s\Delta r,\ s={\frac {g}{t-\Delta r}}$ 이 성립한다. 이때 $s$ 는 화폐의 기대가치이다.

$\Delta r$ 만큼의 거래를 균등하게 2회로 나누서어 한다면 한 번에 거래하는 비회전금의 양이 $\Delta r$ 에서 ${\frac {\Delta r}{2}}$ 로 감소한다. 따라서 $E_{1}=s_{0}{\frac {\Delta r}{2}},\ s_{1}={\frac {g}{t_{0}-{\frac {1}{2}}\Delta r}}$ 가 성립한다. 이때 $E_{n}$ 은 $n$ 번째 거래 시 계산되는 $E$ 의 양이고, $s_{n}$ 은 $n$ 번째 거래를 통해 구해진 $s$ 의 값이다. 전체 2회 거래 중 1회만을 진행했기 때문에 나머지 $E_{2}$ 를 구하자면 $E_{2}=s_{1}{\frac {\Delta r}{2}},\ s_{2}={\frac {g}{t_{1}-{\frac {\Delta r}{2}}}}$ 이다.

이때에, 두번으로 나누어서 한 거래의 절대가치의 합이 $E$ 가 되어야 하므로 $E=\sum _{i=1}^{2}E_{i}$ 가 성립한다.

같은 방식으로 거래를 균등하게 $n$ 회로 나누어서 하게 된다면 $E_{i}=s_{i-1}{\frac {\Delta r}{n}},\ s_{i}={\frac {g}{t_{i-1}-{\frac {\Delta r}{n}}}}$ 의 계산을 $i=1$ 부터 $i=n$ 까지 $n$ 회 계산하게 된다. 이때 $E=\sum _{i=1}^{n}E_{i}$ 가 성립해야 한다.

위에서 작성한 식 $E_{i}=s_{i-1}{\frac {\Delta r}{n}}$ 을 $E=\sum _{i=1}^{n}E_{i}$ 에 대입하면 $E=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {\Delta r}{n}}$ 이 성립한다. 또한 $s_{i}={\frac {g}{t_{i-1}-{\frac {\Delta r}{n}}}}$ 가 성립한다. 따라서 이 $s_{i}$ 에 대한 식을 $E$ 에 대한 식에 대입하고 $n\to \infty$ 인 극한을 취하면 $E=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g}{t-{\frac {\Delta r}{n}}k}}{\frac {\Delta r}{n}}$ 을 얻을 수 있다.

이 식을 다음과 같이 정리한다

$E=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g}{t-{\frac {\Delta r}{n}}k}}{\frac {\Delta r}{n}}$ $=\int _{t}^{t-\Delta r}{\frac {g}{x}}dx$ $=g\int _{t}^{t-\Delta r}{\frac {1}{x}}dx$ $=g\ \left.\ln x\right|_{t}^{t-\Delta r}$ $=g\ln {\frac {t-\Delta r}{t}}$

이 식을 $\Delta r$ 에 대해 정리한다.

${\frac {E}{g}}=\ln {\frac {t-\Delta r}{t}}$ $\Rightarrow \exp {\frac {E}{g}}={\frac {t-\Delta r}{t}}$ $\Rightarrow t\exp {\frac {E}{g}}=t-\Delta r$ $\Rightarrow t-t\exp {\frac {E}{g}}=\Delta r$

따라서 $\Delta r=t\left(1-\exp {\frac {E}{g}}\right)$ 가 성립한다. 따라서 $E$ 에 해당하는 가치를 회전했을 때 비회전금의 변화량 $\Delta t=t\left(\exp {\frac {E}{g}}-1\right)$ 이다. $\square$

회전: 등비급수의 합을 이용한 증명

어떤 화폐의 비회전금을 $t\mathrm {[T]}$ , 거래를 통해 회전할 가치를 $E\mathrm {[{\bar {e}}]}$ , 화폐의 총가치를 $g\mathrm {[{\bar {e}}]}$ 라고 하자.

화폐의 기대치가 ${\frac {g}{t}}$ 이므로 $E$ 의 화폐 환산가치는 ${\frac {Et}{g}}$ 이다. 이때 연산을 $n$ 회에 나누어 한다고 가정하자. 따라서 한번에 변경되는 절대가치의 양은 ${\frac {E}{n}}$ , 따라서 한번에 변경되는 절대가치를 화폐로 환산하면 ${\frac {Et}{gn}}$ 이다. 즉, $t:=t+{\frac {Et}{gn}}$ 연산을 $n$ 회 실행한다.

최초의 $t$ 값을 $t_{0}$ 이라고 하자. 이후, $i$ 번 대입을 진행한 후의 $t$ 값을 $t_{i}$ 라고 하자. 이때, $t_{0}=t$ 이고, $t_{i+1}=t_{i}+{\frac {Et_{i}}{gn}}$ 이다. 이러한 방식으로라면 $t_{n}=t_{n-1}+{\frac {Et_{n-1}}{gn}}$ $=t_{n-2}+{\frac {Et_{n-2}}{gn}}+{\frac {Et_{n-1}}{gn}}$ $=t_{n-3}+{\frac {Et_{n-3}}{gn}}+{\frac {Et_{n-2}}{gn}}+{\frac {Et_{n-1}}{gn}}$ $=t_{0}+\sum _{i=0}^{n}{\frac {Et_{i}}{gn}}$ $=t_{0}+{\frac {E}{gn}}\sum _{i=0}^{n-1}t_{i}$ 가 성립한다. 즉, $t_{n}=t_{0}+{\frac {E}{gn}}\sum _{i=0}^{n-1}t_{i}$ 이다.

$t_{i}$ 에 대한 다른 식을 구하자. $t_{i+1}=t_{i}+{\frac {Et_{i}}{gn}}$ $=t_{i}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)$ 이므로 $t_{2}=t_{1}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)$ $=t_{0}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)^{2}$ 즉, $t_{i}=t_{0}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)^{i}$ 임을 알 수 있다.

$t_{n}$ 은 총 $n$ 회 계산이 종료된 후의 $t$ 값이므로, 우리가 구해야 하는 비회전금의 변화량은 $\Delta t=t_{n}-t_{0}$ 이다. 이때 연속적인 계산을 구현하기 위해서 $n$ 에 양의 극한을 취해야 한다. 즉, $\Delta t=\lim _{n\to \infty }t_{n}-t_{0}$ 이다. 이 공식에 위에서 계산한 $t_{n}=t_{0}+{\frac {E}{gn}}\sum _{i=0}^{n-1}t_{i}$ 와 $t_{i}=t_{0}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)^{i}$ 를 대입하면 $\Delta t=\lim _{n\to \infty }\left[t_{0}+{\frac {E}{gn}}\sum _{i=0}^{n-1}t_{i}\right]-t_{0}$ $={\frac {E}{g}}\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n-1}\left(t_{i}\cdot {\frac {1}{n}}\right)$ $={\frac {E}{g}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}t_{0}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)^{i}$ $={\frac {Et_{0}}{g}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\left(1+{\frac {E}{gn}}\right)^{i}$ 을 얻을 수 있다. 여기서 급수 부분을 보면 초항이 $1$ , 공비가 $1+{\frac {E}{gn}}$ 인 등비급수의 합을 구하는 식임을 알 수 있다. 따라서 $r=1+{\frac {E}{gn}}$ 일 때 $\Delta t={\frac {Et_{0}}{g}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}{\frac {r^{n}-1}{\frac {E}{gn}}}$ 이다. 이는 $\Delta t=t_{0}\lim _{n\to \infty }\left(r^{n}-1\right)$ $=t_{0}\left(\exp {\frac {E}{g}}-1\right)$ 이다.

따라서 절대가치가 $E$ 인 거래를 통한 비회전금의 변화량은 $\Delta t=t_{0}\lim _{n\to \infty }\left(r^{n}-1\right)$ $=t_{0}\left(\exp {\frac {E}{g}}-1\right)$ 이다. $\square$

동결

$\Delta t$ 만큼의 화폐를 동결할 때에 발생하는 가치 $E$ 는 회전 공식의 $E$ 에 대한 역함수로 주어진다.

$\Delta t=t\left(\exp {\frac {E}{g}}-1\right)\Leftrightarrow {\frac {\Delta t}{t}}=\exp {\frac {E}{g}}-1$ $\Leftrightarrow {\frac {\Delta t}{t}}+1=\exp {\frac {E}{g}}$ $\Leftrightarrow \ln \left({\frac {\Delta t}{t}}+1\right)={\frac {E}{g}}$ $\Leftrightarrow g\ln \left({\frac {\Delta t}{t}}+1\right)=E$